Мельников Д.В., Фишер М.Р.

Расчет переходных процессов
в линейных электронных цепях

Методические указания к выполнению домашнего задания

Москва

Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана


УДК 621.3

ББК 31.2

М48

Методические указания к выполнению домашнего задания «Расчет переходных процессов в линейных электронных цепях» по курсу «Основы электротехники» издаются в согласовании с учебным планом специальностей: 211000 «Конструирование и разработка электрических средств», 220400 «Управление в Мельников Д.В., Фишер М.Р. технических системах», 152200 «Наноинженерия», 221000 «Мехатроника и робототехника».

Методические указания рассмотрены и одобрены:

кафедрой ЭИУ7-КФ «Электротехника», протокол № 1 от 17.02. 2012 г.

Зав. кафедрой ЭИУ7-КФ __________ Д. В. Мельников

Методической комиссией факультета ЭИУК,

протокол № ___ от _______ 2012 г.

Председатель методической комиссии факультета ЭИУК

__________ М. Ю. Адкин

Методической комиссией Калужского филиала МГТУ

им. Н. Э. Баумана, протокол № ___ от _______ 2012 г Мельников Д.В., Фишер М.Р..

Председатель методической комиссии Калужского филиала МГТУ

им. Н. Э. Баумана __________ О. Л. Перерва

Создатели:

канд. техн. наук, доцент кафедры ЭИУ7-КФ ________ Д. В. Мельников;

канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры ЭИУ7-КФ ________ М. Р. Фишер.

Рецензент: д-р техн. наук, доктор кафедры ЭИУ3-КФ

____________ Ю. П. Корнюшин

Методические указания содержат нужные теоретические сведения, варианты задания и Мельников Д.В., Фишер М.Р. контрольные вопросы для выполнения домашней работы «Расчет переходных процессов в линейных электронных цепях» по курсу «Основы электротехники».

Методические указания созданы для студентов направлений: 211000 «Конструирование и разработка электрических средств», 220400 «Управление в технических системах», 152200 «Наноинженерия», 221000 «Мехатроника и робототехника».

© Мельников Д. В., Фишер М. Р., 2012

1. Появление переходных процессов и законы коммутации

В Мельников Д.В., Фишер М.Р. электронных цепях могут происходить включения и отключения пассивных либо активных цепей, недлинные замыкания отдельных участков, различного рода переключения, неожиданные конфигурации характеристик и т.д. В итоге таких конфигураций, именуемых коммутационными либо просто коммутациями, которые будем считать происходящими одномоментно, в цепи появляются переходные процессы, заканчивающиеся спустя некое (на теоретическом уровне Мельников Д.В., Фишер М.Р. нескончаемо огромное) время после коммутации.

Примем последующие обозначения:

– начало отсчета времени переходного процесса;

– момент времени конкретно перед моментальной коммутацией;

– момент времени конкретно сходу после моментальной коммутации.

В индуктивном элементе ток (и магнитный поток) конкретно после коммутации в момент, который и назван моментом коммутации, сохраняет значение, которое он Мельников Д.В., Фишер М.Р. имел конкретно перед коммутацией, т.е. при и далее начинает изменяться конкретно с этого значения. Записанное в математической форме это явление именуется первым законом коммутации:

.

Так, при включении ветки с катушкой, в какой не было тока, ток в этой ветки в момент коммутации равен нулю. Если для таковой ветки допустить Мельников Д.В., Фишер М.Р., что в момент коммутации ток меняется скачком, то напряжение на индуктивном элементе будет нескончаемо огромным и не будет производиться II закон Кирхгофа.

На емкостном элементе напряжение (и заряд) сохраняет в момент коммутации то значение, которое оно имело конкретно перед коммутацией, и в предстоящем меняется, начиная конкретно с этого значения. Это Мельников Д.В., Фишер М.Р. явление именуется вторым законом коммутации:

.

Так, при включении ветки с конденсатором, который не был заряжен, напряжение в момент коммутации равно нулю. Если допустить, что в момент коммутации напряжение на емкостном элементе поменяется скачком, то ток будет нескончаемо огромным, и в цепи не будет производиться II закон Кирхгофа.

С энергетической точки зрения Мельников Д.В., Фишер М.Р. невозможность моментального конфигурации тока и напряжения разъясняется невыполнимостью скачкообразного конфигурации запасенной в индуктивном и емкостном элементах энергии, потому что такое изменение энергии просит нескончаемо большой мощности.

Цель анализа переходных процессов в электронных цепях – определение временных законов конфигурации токов либо напряжений на данных участках цепи в переходном режиме.

Разглядим общие вопросы Мельников Д.В., Фишер М.Р. расчета переходных процессов на ординарном примере – включение – цепи к источнику ЭДС , которая меняется во времени безпрерывно и задана любым аналитическим выражением:

, (1)

где – ток переходного процесса, который будем именовать переходным током; – напряжение на конденсаторе.

Когда с переходным процессом можно не считаться, наступает вынужденный режим. Вынужденный режим, создаваемый источником случайной Мельников Д.В., Фишер М.Р. временами изменяющейся ЭДС (либо током) именуется установившимся.

В установившемся режиме

, (2)

где , , – ток и напряжение установившегося режима (установившийся ток и установившееся напряжение).

Если отнять из уравнения (1) уравнение (2) и обозначить , то

. (3)

Разности токов и напряжений переходного процесса и вынужденного (установившегося) режима именуются током и напряжением свободного процесса либо просто свободным током и напряжением.

Процесс Мельников Д.В., Фишер М.Р., происходящий в цепи, можно рассматривать состоящим из 2-ух накладывающихся друг на друга процессов – установившегося, который вроде бы наступил сходу, и свободного, имеющего место только во время переходного процесса:

; ;

; .

Естественно, на физическом уровне есть только переходные токи и напряжения, и разложение их на составляющие является комфортным математическим приемом Мельников Д.В., Фишер М.Р., облегчающим расчет переходных процессов.

Разложение переходных токов и напряжений соответствует правилу решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений, согласно которому общее решение равно сумме личного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения.

Свободный ток представляет собой общее решение однородного дифференциального уравнения (3), и в его выражении должны быть неизменные интегрирования, число которых равно Мельников Д.В., Фишер М.Р. порядку дифференциального уравнения.

Установившийся ток – личное решение неоднородного диффе­ренциального уравнения (1), которое выходит из общего решения неоднородного дифференциального уравнения при равных нулю неизменных интегрирования.

При интегрировании дифференциальных уравнений возникают неизменные интегрирования, которые определяют из исходных критерий.

Исходные условия – значения переходных токов в индуктивных элементах и напряжений на емкостных элементах Мельников Д.В., Фишер М.Р. при , т.е. те значения, которые в момент коммутации не меняются скачком. Это так именуемые независящие исходные условия.

Исходные значения всех других токов и напряжений именуются зависимыми исходными критериями. Их определяют по независящим исходным условиям с помощью уравнений, составленных по I и II законам Кирхгофа. Это является Мельников Д.В., Фишер М.Р. основной трудностью решения традиционным способом.

2. Традиционный способ расчета переходных процессов

2.1. Теоретические сведения.

В базе традиционного способа расчета переходных процессов в электронных цепях лежит составление интегрально-дифференциальных уравнений для моментальных значений токов и напряжений. Эти уравнения составляют для схем, приобретенных после коммутации, основываясь на узнаваемых способах расчета электронных цепей, таких как способ конкретного внедрения Мельников Д.В., Фишер М.Р. законов Кирхгофа, способ контурных токов, способ узловых потенциалов. Решение приобретенной системы уравнений относительно избранной переменной и составляет суть традиционного способа.

При всем этом связь меж токами и напряжениями на участках цепи (на активных сопротивлениях и на реактивных элементах) определяется последующим образом (рис. 1.):

Рис. 1. Связь меж токами и Мельников Д.В., Фишер М.Р. напряжениями на участках цепи

Беря во внимание, что решение дифференциальных уравнений проще интегрально-дифференциальных, полученную систему сводят к дифференциальным уравнениям.

Порядок дифференциального уравнения равен числу независящих накопителей энергии в цепи, под которыми понимаются катушки индуктивности и конденсаторы в облегченной схеме, получаемой из начальной методом объединения индуктивностей и соответственно емкостей частей, соединения Мельников Д.В., Фишер М.Р. меж которыми являются поочередными либо параллельными.

В общем случае порядок дифференциального уравнения определяется соотношением:

.

где и – число катушек индуктивности и конденсаторов соответственно после обозначенного упрощения начальной схемы; – число узлов, в каких сходятся только ветки, содержащие катушки индуктивности (в согласовании с первым законом Кирхгофа ток через всякую катушку индуктивности в данном Мельников Д.В., Фишер М.Р. случае определяется токами через другие катушки); – число контуров схемы, ветки которых содержат только конденсаторы (в согласовании со вторым законом Кирхгофа напряжение на любом из конденсаторов в данном случае определяется напряжениями на других).

Обозначим разыскиваемую функцию времени (напряжение, ток, потокосцепление и т. п.) через , тогда дифференциальное уравнение порядка Мельников Д.В., Фишер М.Р., описывающее переходный процесс в электронной цепи, находящейся под воздействием источника , имеет вид:

, (4)

где – коэффициенты, зависящие от характеристик цепи (в предстоящем рассматриваются цепи только с неизменными параметрами); – функция, описывающая нрав воздействия на цепь.

Дифференциальное уравнение (4) относится к линейным неоднородным уравнениям -го порядка. Как понятно из курса высшей арифметики, его решение есть сумма Мельников Д.В., Фишер М.Р. общего решения однородного дифференциального уравнения -го порядка:

,

и личного решения уравнения (4)

.

Личное решение данного неоднородного уравнения, получаемое с учетом наружного воздействия , именуется вынужденной (установившейся) составляющей решения и определяется из соотношений для установившегося режима данной цепи после коммутации.

Общее решение однородного уравнения определяет процессы, которые протекают в цепи без Мельников Д.В., Фишер М.Р. роли наружного воздействия, и именуется свободной составляющей . Вид свободной составляющей переходного процесса определяется числом и значениями корней характеристического уравнения:

,

В случае, когда корешки характеристического уравнения вещественные и разные, решение имеет вид:

где , – неизменные интегрирования, которые находятся из исходных критерий задачки.

В случае, когда корешки уравнения – вещественные и равные Мельников Д.В., Фишер М.Р., т. е , свободная составляющая определяется уравнением:

.

Если корешки комплексно-сопряженные , тогда

,

где , – неизменные интегрирования, определяемые также из исходных критерий задачки.

В таблице 1 обобщены данные для определения свободных составляющих дифференциального уравнения -го порядка.

Таблица 1.

Вид корней характеристического уравнения

Выражение для свободной составляющей

Корешки вещественные и разные
Корешки вещественные и
Пары Мельников Д.В., Фишер М.Р. комплексно-сопряженных корней

Исходные условия задачки определяют значения токов в индуктивностях и напряжений на емкостях в момент коммутации. Зависимо от исходного энергетического состояния цепи различают два типа задач расчета переходных процессов: задачки с нулевыми исходными критериями, когда конкретно в момент коммутации , ; и задачки с ненулевыми исходными критериями, когда и (либо) .

Нулевые Мельников Д.В., Фишер М.Р. и ненулевые значения исходных критерий для тока в катушке индуктивности и напряжения на конденсаторе именуются независящими. Для определения независящих исходных критерий в цепи до коммутации ( ) хоть каким известным методом рассчитываем токи в индуктивностях и напряжения на емкостях. Согласно законам коммутации приобретенные значения и будут являться независящими исходными критериями Мельников Д.В., Фишер М.Р.. Исходные условия других токов и напряжений именуются зависимыми. Чтоб найти их, для цепи, образованной после коммутации, составляют уравнения Кирхгофа и записывают эти уравнения для момента коммутации с учетом законов коммутации. Полученную систему алгебраических уравнений решают относительно разыскиваемых величин при .

Если число корней характеристического уравнения больше 1-го, то нужно иметь не только Мельников Д.В., Фишер М.Р. лишь исходные условия разыскиваемой переменной, да и ее производных. При всем этом порядок производных, изначальное значение которых следует знать, на единицу меньше числа корней характеристического уравнения. Для определения производных при уравнения Кирхгофа дифференцируют и решают вместе для .

Данный способ используют для решения дифференциальных уравнений первого и второго порядка. При более Мельников Д.В., Фишер М.Р. больших порядках определение неизменных интегрирования и решение характеристического уравнения представляет собой непростой процесс.

2.2. Пример расчета цепи.

Разглядим схему, приведенную на рис. 2. Решим задачку, в какой в момент времени происходит замыкание ключа в ветки источника. Характеристики частей: .

Рис. 2

На основании законов Кирхгофа составим систему уравнений относительно моментальных значений токов и напряжений Мельников Д.В., Фишер М.Р. для послекоммутационной схемы.

Представляем токи в виде суммы установившейся и переходной (свободной) составляющей:

, , .

Вынужденная (установившиеся) составляющая является личным решением неоднородной системы и определяет токи при довольно огромных , когда переходные процессы закончились. Свободные составляющие являются общим решением однородной системы:

Представим систему последующим образом:

.

Уравнение является характеристическим уравнением. Имеем

(5)

Подставляя определенные числовые Мельников Д.В., Фишер М.Р. значения характеристик в (5), получаем последующие уравнение

,

откуда .

Корешки вышли различные и действительные. Ищем решение для свободных составляющих тока на катушке индуктивности и напряжения на конденсаторе в виде:

, .

Определим исходные условия. Значения и в согласовании с законами коммутации определяются из докоммутационной схемы. Так как 1-ая ветвь (содержащая источник) в докоммутационной Мельников Д.В., Фишер М.Р. схеме разомкнута . Напряжение на конденсаторе тоже равно нулю, так как, выходит, что источников в схеме нет, а обкладки конденсатора замкнуты через резистор , потому . Найдем сейчас значения производных этих функций в нулевой момент времени, исходя из системы уравнений, составленной по законам Кирхгофа для .

получим .

Определим вынужденную (установившуюся) составляющую исходя Мельников Д.В., Фишер М.Р. из послекоммутационной схемы. В схеме действует источник неизменного напряжения. При неизменных токах сопротивление катушки индуктивности равно нулю, а сопротивление конденсатора нескончаемо (разрыв ветки). Таким макаром, послекоммутационная схема имеет вид:

Рис. 3. К определению установившихся составляющих переходных процессов электронной цепи

Определяем вынужденные (установившиеся) составляющие:

.

Исходя из исходных критерий. Составим систему уравнений для определения неизменных Мельников Д.В., Фишер М.Р. интегрирования.

Решая эту систему, находим .

,

отсюда находим .

Таким макаром,

,

,

.

Дальше можно отыскать надлежащие напряжения:

Из найдем . Графики отысканных токов и напряжений приведены на рис. 4, 5.

Рис. 4. Переходные токи в цепи

Рис. 5. Переходные напряжения в цепи

3. Операторный способ расчета переходных процессов.

3.1.Операторное изображение функций, их производных и интегралов.

При использовании операторного способа Мельников Д.В., Фишер М.Р. действительные функции времени, именуемые оригиналами, заменяются операторными изображениями. Соответствие меж оригиналом и изображением устанавливается при помощи некого многофункционального преобразования. Это преобразование выбирается так, чтоб операции интегрирования и дифференцирования оригиналов заменялись алгебраическими операциями над их изображениями. В данном случае дифференциальные уравнения для оригиналов переводят в алгебраические для их изображений.

Связь Мельников Д.В., Фишер М.Р. меж оригиналом и его изображением устанавливается при помощи интеграла Лапласа:

, (6)

где – всеохватывающее число.

Операторное изображение реальной функции является функцией всеохватывающего числа . Нередко интеграл (1.4) именуют интегралом Лапласа.

Для того чтоб интеграл Лапласа имел конечное значение, функция должна удовлетворять определенным условиям. Она должна удовлетворять условиям Дирихле: за хоть какой конечный просвет Мельников Д.В., Фишер М.Р. времени иметь конечное число разрывов первого рода и конечное число максимумов и минимумов. Не считая того, будем считать, что при удовлетворяется условие: , где A и a – некие положительные числа. Все реальные токи и напряжения удовлетворяют этим условиям. Для того чтоб интеграл Лапласа имел конечное значение, нужно считать .

Условимся записывать преобразование Мельников Д.В., Фишер М.Р. Лапласа в виде

.

Соответствие меж оригиналом и изображением

.

По определению, преобразование Лапласа применимо с момента . Обозначая значение функции и ее производных и т.д., будем осознавать под ними их значение при .

Существует оборотное функциональное преобразование Лапласа, по которому можно найти оригинал, зная его изображение. Его именуют оборотным преобразованием Лапласа Мельников Д.В., Фишер М.Р.:

, (7)

где .

Оборотное преобразование Лапласа коротко записывается в виде

.

Соответствие неких соответствующих функций и их изображений приведено в таблице 2. Более много таблицы соответствия оригиналов и изображений приведены в соответственных справочниках [1].

Достоинством преобразования по Лапласу является его соответствие с преобразованием Фурье, на котором основывается обширно применяемый в текущее время частотный способ анализа цепей.

Таблица Мельников Д.В., Фишер М.Р. 2

Соответствие неких оригиналов и их изображений по Лапласу

Оригинал Изображение

Интегралу Лапласа (6) присущи последующие характеристики:

1. Линейность:

(8)

где

2. Изображение производной

. (9)

Изображение 2-ой производной

.

Изображение производной n-го порядка

.

При нулевых исходных значениях

.

3. Изображение от интеграла

. (10)

В дифференциальных уравнениях электронных цепей с производной во времени в большинстве случаев встречаемся в напряжении на катушке: . Операторное изображение для Мельников Д.В., Фишер М.Р.

.

С интегралом в большинстве случаев встречаемся в выражении напряжения на конденсаторе: .

Изображение по Лапласу

,

где – изображение неизменной величины .

Таким макаром, при составлении уравнений цепи в операторной форме автоматом будут учитываться физические исходные условия – значения токов в катушках и напряжений на конденсаторах при .

4. Смещение в реальной областина величину :

.

5. Смещение Мельников Д.В., Фишер М.Р. в всеохватывающей области на число a

.


mehanizmi-razvitiya-boleznej.html
mehanizmi-razvitiya-gipoksemii-pri-dihatelnoj-nedostatochnosti.html
mehanizmi-razvitiya-vospaleniya-mediatori-i-modulyatori-vospaleniya-ih-harakteristika.html